a)$r^2-5r+6=0$
$(r-2)(r-3)=0$
$r_1=2,~r_2=3$
$\therefore~~y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$
$y'’-5y'+6y=52\cos(2x)$
$y_p(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)$
$y_p'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)$
$y_p''(x)=-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)$
Plug in:
$-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)-5(-2A\sin(2x)+2B\cos(2x))+6(A\cos(2x)+B\sin(2x))=52\cos(2x)$
$\therefore~~(2A-10B)\cos(2x)+(2B+10A)\sin(2x)=52\cos(2x)$
$\left\{\begin{array}{l}2A-10B=52\\2B+10A=0\end{array}\right.$
$\therefore~~\left\{\begin{array}{l}A=1\\B=-5\end{array}\right.$
$\therefore~~y_p(x)=\cos(2x)-5\sin(2x)$
$\therefore~~y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}+\cos(2x)-5\sin(2x)$
b)$\because~~y(0)=0$ , $y'(0)=0$
$y=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}+\cos(2x)-5\sin(2x)$
$y'(x)=2C_1 e^{2x}+3C_2 e^{3x}-2\sin(2x)-10\cos(2x)$
$\therefore~~\left\{\begin{array}{l}0=C_1+C_2+1\\0=2C_1+3C_2-10\end{array}\right.$
$\therefore~~\left\{\begin{array}{l}C_1=-13\\C_2=12\end{array}\right.$
$y(x)=-13e^{2x}+12e^{3x}+\cos(2x)-5\sin(2x)$
a)$r^2-5r+6=0$
$(r-2)(r-3)=0$
$r_1=2,~r_2=3$
$\therefore~~y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$
$y'’-5y'+6y=52\cos(2x)$
$y_p(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)$
$y_p'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)$
$y_p''(x)=-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)$
Plug in:
$-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)-5(-2A\sin(2x)+2B\cos(2x))+6(A\cos(2x)+B\sin(2x))=52\cos(2x)$
$\therefore~~(2A-10B)\cos(2x)+(2B+10A)\sin(2x)=52\cos(2x)$
$\left\{\begin{array}{l}2A-10B=52\\2B+10A=0\end{array}\right.$
$\therefore~~\left\{\begin{array}{l}A=1\\B=-5\end{array}\right.$
$\therefore~~y_p(x)=\cos(2x)-5\sin(2x)$
$\therefore~~y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}+\cos(2x)-5\sin(2x)$
b)$\because~~y(0)=0$ , $y'(0)=0$
$y=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}+\cos(2x)-5\sin(2x)$
$y'(x)=2C_1 e^{2x}+3C_2 e^{3x}-2\sin(2x)-10\cos(2x)$
$\therefore~~\left\{\begin{array}{l}0=C_1+C_2+1\\0=2C_1+3C_2-10\end{array}\right.$
$\therefore~~\left\{\begin{array}{l}C_1=-13\\C_2=12\end{array}\right.$
$y(x)=-13e^{2x}+12e^{3x}+\cos(2x)-5\sin(2x)$
[/font]